21 de julio, 2004
¿Pueden
escucharme?
Quiero
informar que creo haber solucionado un gran problema en la física
teórica que ha estado rondando desde que descubrí que los agujeros
negros radian termalmente, hace treinta años. La pregunta es ¿Se pierde
la información en la evaporación de un agujero negro? Si es así la
evolución no es unitaria y los estados cuánticos puros, se descomponen
en estados mixtos.
Le estoy
agradecido a mi estudiante graduado Christophe Galfard por su ayuda en
la preparación de esta conferencia.
La
información de la paradoja sobre los agujeros negros, comenzó en 1967,
cuando Werner Israel mostró que la métrica de Schwarzschild, era la
única solución estática del vacío con agujeros negros. Esto fue
generalizado entonces por el teorema de no pelo, la única solución de
las ecuaciones de Einstein Maxwell son las métricas de Kerr Newman. El
teorema de no pelo implicaba que toda la información acerca del cuerpo
en colapso, se perdía desde la región exterior, aparte de tres
cantidades conservadas, la masa, el momento angular y la carga
eléctrica.
Esta pérdida
de información no era un problema en la teoría clásica. Un agujero negro
clásico duraría eternamente y la información podía pensarse que quedaba
conservada dentro de él, pero no muy asequible. Sin embargo, la
situación cambió cuando descubrí que los efectos cuánticos ocasionarían
que un agujero negro radiase a un ritmo persistente. Al menos en la
aproximación que estaba yo utilizando, la radiación del agujero negro
sería totalmente térmica y no llevaría información. Así que, qué es lo
que sucedería con toda la información encerrada en el interior de un
agujero negro, que se evaporaba y desaparecía completamente. Parecía ser
que la única manera como la información podía salir, sería si la
radiación no fuese exactamente térmica, pero que tuviera correlaciones
sutiles. Nadie ha encontrado un mecanismo para producir correlaciones,
pero la mayoría de los físicos creen que alguna debe de existir. Si la
información se perdiese en los agujeros negros, los estados puros del
cuanto se descompondrían en estados mezclados y la gravedad del cuanto
no sería unitaria.
Yo lancé
primero la pregunta sobre pérdida de información en el 75 y el argumento
continuo por años, sin ninguna resolución por ningún lado. Finalmente,
se reclamó que el asunto había sido resuelto en favor de la conservación
de la información por ADS, CFT. ADS, CFT, es una dualidad conjeturada
entre la súper-gravedad del espacio anti de Sitter y una Teoría de Campo
Conforme en las fronteras del espacio anti de Sitter en el infinito. Ya
que la Teoría del Campo Conforme es manifiestamente unitaria, el
argumento es que la súper-gravedad debe conservar la información.
Cualquier información que cae en un agujero negro en el espacio anti de
Sitter, debe de volver a salir. Pero aún no estaba claro como podía
salir del agujero la información.
Esta es la
pregunta a la que voy a referirme.
La formación
y evaporación de un agujero negro puede pensarse como un proceso de
interacción. Uno envía partículas y radiación desde el infinito y mide
que es lo que sale hacia el infinito. Todas las mediciones se realizan
al infinito, donde los campos son débiles y uno nunca sondea la región
fuerte del campo en el medio. De manera que uno nunca puede estar seguro
que se forma un agujero negro, no importa que tan cierto pueda esto ser
en la teoría clásica. Mostraré que esta posibilidad, permite que se
conserve la información y que sea regresada al infinito.
Adopto el
acercamiento Euclidiano, la única manera sensata de manejar la gravedad
cuántica no perturbativa. Así, la evolución temporal de un estado
inicial está dada por una integra de caminos sobre todas las métricas
positivas que van entre dos superficies, que están separadas una
distancia T en el infinito. Entonces uno hace una rotación de Wick del
intervalo de tiempo, T, al Lorentziano.
La integral
de caminos es tomada sobre métricas para todas las topologías posibles
que caben en medio de las superficies. Existe la topología trivial, la
superficie inicial por el intervalo de tiempo. Después están las
topologías no triviales que son todas las demás topologías posibles. La
topología trivial puede ser foliada por una familia de superficies de
tiempo constante. La integral de caminos de todas las mediciones con la
topología trivial, puede tratarse canónicamente con secciones
temporales. En otras palabras, la evolución temporal (incluyendo la
gravedad) será generada por un Hamiltoniano. Esto dará un mapa unitario
desde la superficie inicial a la final.
Las
topologías no triviales, no pueden ser foliadas por una familia de
superficies de tiempo constante. Existirá un punto fijo en cualquier
campo vectorial de evolución temporal en una topología no trivial. Un
punto fijo en el régimen Euclidiano, se corresponde a un horizonte en el
Lorentziano. Un pequeño cambio en el estado de la superficie inicial, se
propagaría como una onda lineal, sobre el fondo de cada métrica en la
integral de caminos. Si el fondo contenía un horizonte, la onda caería a
través de él y decaería exponencialmente en un tiempo posterior, fuera
del horizonte. Por ejemplo, las funciones de correlación decaen
exponencialmente en las métricas con agujeros negros. Esto significa que
la integral de caminos sobre todas las métricas topológicamente no
triviales, será independiente del estado de la superficie inicial. No se
sumará a la amplitud para ir desde el estado inicial hasta el final, que
proviene de la integral de caminos sobre todas las métricas
topológicamente triviales. De manera que el mapa desde los estados
iniciales a los finales, dado por la integral de caminos sobre todas las
métricas, será unitario. Uno podría dudar el uso de este argumento, del
concepto de un estado cuántico para el campo gravitacional, sobre una
superficie spacelike inicial o final. Esto sería un funcional de las
geometrías de superficies spacelike, lo cual no es algo que pueda
medirse en campos débiles cerca del infinito. Uno puede medir los campos
débiles gravitatorios, en un tubo timelike alrededor del sistema, pero
las tapas de encima y de debajo, van a través del interior del sistema,
donde los campos pueden ser fuertes.
Una forma de
deshacerse de las dificultades de las tapas, sería unir la superficie
final de regreso con la superficie inicial, e integrar todas las
geometrías espaciales de la unión. Si esta fuese una identificación bajo
un intervalo de tiempo Lorentziano, T, en el infinito, introduciría
curvas timelike cerradas. Pero si el intervalo al infinito es la
distancia Euclidiana, beta, la integral de caminos proporciona la
función de partición para la gravedad a la temperatura, uno sobre beta.
La función de
partición de un sistema, es la traza sobre todos los estados, pesados
con e a la menos beta H. Entonces se puede integrar beta a lo largo de
un contorno paralelo al eje imaginario, con el factor, e a la beta E0.
Esto proyecta los estados con energía, E0. En un colapso gravitatorio y
evaporación, uno está interesado en los estados de energía precisa, en
vez de los estados de temperatura precisa.
Existe un
problema de infrarrojo con esta idea para un espacio plano asintótico.
La integral de caminos Euclidiana con período beta, es la función de
partición para espacio a temperatura, uno sobre beta. La función de
partición es infinita, porque el volumen del espacio es infinito. Este
problema de infrarrojo puede resolverse por una pequeña constante
cosmológica negativa. No afectará la evaporación de un agujero negro
pequeño, pero cambiará el infinito a espacio anti de Sitter y hará
finita la función de partición térmica.
La frontera
en el infinito entonces es un toroide, S1, por S2. La topología trivial,
periódicamente identificada como espacio anti de Sitter, llena el
toroide, pero también lo hacen las topologías no-triviales, la más
conocida de ellas siendo la Schwarzschild anti de Sitter. Mientras que
la temperatura sea pequeña comparada con la temperatura de Hawking-Page,
la integral de caminos sobre todas las métricas topológicamente
triviales, representa radiación auto gravitante en el espacio asintótico
de anti de Sitter. La integral de caminos sobre todas las métricas de la
topología ADS de Schwarzschild representa un agujero negro y radiación
térmica en el anti de Sitter asintótico.
La frontera
en el infinito tiene topología S1 por S2. La topología más simple que
cabe dentro de estas fronteras, es la topología trivial, S1 por D3, el
tres-disco. La siguiente topología más simple y la primera topología no
trivial, es S1 por D2. Esta es la topología de la métrica de
Schwarzschild anti de Sitter. Existen otras topologías posibles que
caben dentro de las fronteras, pero estas dos son los casos importantes,
métricas topológicamente triviales y el agujero negro. El agujero negro
es eterno. No puede convertirse en topológicamente trivial más adelante.
En vista de
esto, uno puede comprender porqué la información se conserva en las
métricas topológicamente triviales, pero exponencialmente decae en
métricas topológicamente no triviales. Un estado final de espacio vacío
sin un agujero negro, sería topológicamente trivial y estaría foliado
por superficies de tiempo constante. Estas formarían un tres-ciclo
módulo frontera en el infinito. Cualquier simetría global conduciría a
cargas globales conservadas en esos tres ciclos. Esto evitaría que las
funciones de correlación decayesen exponencialmente en las métricas
topológicamente triviales. En efecto, uno puede considerar la evolución
Hamiltoniana unitaria, de una métrica topológicamente trivial como la
conservación de la información a través de un tres-ciclo.
Por otra
parte, una topología trivial, como un agujero negro, no tendrá un
tres-ciclo final. Por lo tanto no conservará ninguna cantidad, que
prevendría que las funciones de correlación decaigan exponencialmente.
Así uno es conducido al maravilloso resultado, que las amplitudes de
tiempo posterior de la integral de caminos sobre una métrica
topológicamente no trivial, son independientes del estado inicial. Esto
fue notado por Maldacena en el caso de anti de Sitter3 asintótico e
interpretado como el hecho de implicar que la información se pierde en
la métrica BTZ de agujeros negros. Maldacena fue capaz de demostrar que
las métricas topológicamente triviales tienen funciones de correlación
que no decaen y tienen amplitudes del orden correcto para ser
compatibles con una evolución unitaria. Sin embargo Maldacena no se dio
cuenta de que desde un tratamiento canónico se sigue que la evolución de
una métrica topológicamente trivial será unitaria.
Así que al
final, todos tenían razón, de alguna manera. La información se pierde en
métricas topológicamente no triviales, como el agujero negro eterno. Por
otro lado, la información se conserva en las métricas topológicamente
triviales. La confusión y paradoja vino porque la gente pensó de manera
clásica, en términos de una sola topología para el espacio-tiempo. Era o
R4 o un agujero negro. Pero la suma sobre historias de Feynman, permite
que sea ambas a la vez. Uno no puede afirmar qué topología contribuyó a
la observación más de lo que uno puede decir qué ranura atravesó el
electrón en el experimento de las dos ranuras. Todo lo que la
observación en el infinito puede determinar, es que existe un mapa desde
los estados iniciales, hasta el final y que esa información no se
pierde.
Mi trabajo
con Hartle, mostró que la radiación podría ser pensada como un escape
del interior de un agujero negro. Por lo tanto era razonable suponer que
podría llevar información hacia fuera del agujero negro. Esto explica
como puede formarse un agujero negro y después ofrecer la información
acerca de lo que hay adentro, mientras se mantiene topológicamente
trivial. No existe un universo bebé ramificándose, como alguna vez
pensé. La información permanece firmemente en nuestro universo. Lo
siento por desilusionar a los seguidores de la ciencia-ficción, pero si
la información se conserva, no existe la posibilidad de utilizar a los
agujeros negros para viajar a otros universos. Si usted cae dentro de un
agujero negro, su masa energía regresará a nuestro universo, pero de una
manera dañada, que contiene la información acerca de lo que era, pero en
un estado irreconocible.
Existe un
problema en describir que es lo que pasa, por que estrictamente
hablando, lo único observable en la gravedad cuántica, son los valores
del campo en el infinito. Uno no puede definir el campo en un punto del
medio, porque existe una incertidumbre cuántica en relación con el lugar
donde se hace la medición. Sin embargo, en los casos en que existen un
gran número, N, de campos de materia ligeros, acoplados a la gravedad,
uno puede despreciar las fluctuaciones gravitatorias, porque sólo son
una entre N lazos cuánticos. Uno puede entonces realizar la integral de
caminos sobre todos los campos de materia, en una métrica dada, para
obtener una acción efectiva que será un funcional de la métrica.
Uno puede
agregar la clásica acción de Einstein Hilbert de la métrica, a esta
acción efectiva cuántica de los campos de materia. Si uno integrase esta
acción combinada sobre todas las otras métricas uno obtendría la teoría
cuántica completa. Sin embargo, la aproximación semiclásica, es la de
representar la integral sobre las métricas, por su punto de inflexión.
Esto obedecería las ecuaciones de Einstein, donde la fuente es el valor
de expectación del tensor de energía-momento, de los campos de materia
en su estado de vacío.
La única
manera de calcular la acción efectiva de los campos de materia, solía
ser la teoría perturbativa. Esto no es factible que funcione en el caso
del colapso gravitatorio. Sin embargo, ahora afortunadamente tenemos un
método no-perturbativo en ADS CFT. La conjetura de Maldacena dice que la
acción efectiva de un CFT en una métrica de fondo es igual a la acción
efectiva de la súper-gravedad del espacio anti de Sitter con esa métrica
de fondo en el infinito. En el gran límite N, la acción efectiva de
súper-gravedad es solamente la acción clásica. De ahí que el cálculo de
la acción efectiva cuántica de los campos de materia, es equivalente a
resolver las ecuaciones de Einstein clásicas.
La acción de
un espacio anti de Sitter, con una frontera al infinito, sería infinita
así que hay que regularizar. Uno introduce restas que dependen solo de
la métrica de la frontera.
El primer
contrapunto es proporcional al volumen de la frontera.
El segundo
contrapunto es proporcional a la acción Einstein Hilbert de la frontera.
Existe un
tercer contrapunto, pero no está definido covariantemente.
Ahora uno
agrega la acción Einstein Hilbert de la frontera y se busca un punto de
inflexión de la acción total. Esto involucrará resolver las ecuaciones
Einstein acopladas de cuatro y cinco dimensiones. Probablemente tenga
que hacerse numéricamente.
En esta
conferencia, he argumentado que la gravedad cuántica es unitaria y la
información es mantenida en la formación y evaporación de agujeros
negros. Considero que la evolución está dada por una integral de caminos
Euclidiana sobre las métricas de todas las topologías. La integral sobre
métricas topológicamente triviales puede hacerse dividiendo el intervalo
de tiempo en delgadas secciones y utilizando una interpolación linear a
la métrica de cada sección. La integral sobre cada sección, será
unitaria y así toda la integral de caminos será unitaria.
Por otro
lado, la integral de caminos sobre métricas topológicamente no
triviales, perderá información y será asintóticamente independiente de
sus condiciones iniciales. Por lo tanto la integral de caminos será
unitaria y la mecánica cuántica estará a salvo.
Es grandioso
resolver un problema que me ha estado preocupando por casi treinta años,
aunque la respuesta es menos apasionante que la alternativa que sugerí.
Este resultado no es todo negativo, pues indica que un agujero negro se
evapora, mientras permanece topológicamente trivial. Sin embargo, la
gran solución N es probable que sea un agujero negro que se contrae
hasta cero. Esto es lo que sugerí en 1975.
En 1997, Kip
Thorne y yo, le apostamos a John Preskill, que la información se perdía
en los agujeros negros. El perdedor o perdedores de la apuesta tienen
que darle al ganador o ganadores una enciclopedia de su elección, de la
cual pueda obtenerse información con toda facilidad. Ahora estoy listo
para conceder la apuesta, pero Kip Thorne no está convencido del todo.
Yo le daré a John Preskill la enciclopedia que pidió. John es un “all
American”, así que naturalmente quiere una enciclopedia sobre béisbol.
Tuve muchas dificultades en conseguir una por aquí, así que le ofrecí
una enciclopedia sobre críquet, como una alternativa, pero John no se
dejó convencer de la superioridad del críquet. Afortunadamente mi
asistente, Andrew Dunn, convenció a los editores de Sportclassic Books,
a enviar por avión una copia de Total Baseball, The Ultimate Baseball
Encyclopedia a Dublín. Le daré a John la enciclopedia ahora. Si Kip
acepta reconocer la apuesta más tarde, puede devolvérmela.
Notas del
Traductor
Anti
de Sitter es un modelo cosmológico para el Universo. Aquél que esté
interesado en conocer más acerca de esto se le sugiere ver:
http://www.fact-index.com/a/an/anti_de_sitter_space.html
http://www.fact-index.com/d/de/de_sitter_space.html
http://www.fact-index.com/a/au/automorphism_1.html
La función
Lorentziana, puede verse en:
http://mathworld.wolfram.com/LorentzianFunction.html
Los sistemas
Hamiltonianos:
http://arxiv.org/abs/nlin.CD/0203048
http://citebase.eprints.org/cgi-bin/citations?id=oai:arXiv.org:nlin/0203048
Para el caso
de los Schwarzschild anti de Sitter
http://citebase.eprints.org/cgi-bin/citations?id=oai:arXiv.org:hep-th/0205142
Para saber
más acerca de toroides (geometría del universo):
http://mathworld.wolfram.com/Torus.html
http://zebu.uoregon.edu/~js/ast123H/lectures/lec16.html
Fases de los
“tres ciclos”:
http://www.iop.org/EJ/abstract/0741-3335/27/4/004
Teoría de
Feynman:
http://www.zyvex.com/nanotech/feynman.html
Acción
Einstein Hilbert:
http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-1998-6/node16.html
Covariante:
http://mathworld.wolfram.com/Covariant.html
Traductor
: Liberto Brun Compte
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